Serje ta 'Fourier: l-istorja u l-influwenza tal-mekkaniżmu matematiku għall-iżvilupp tax-xjenza

serje ta 'Fourier - din il-fehma arbitrarjament magħżula funzjonijiet għall-perjodu in fila. F'termini ġenerali, din is-soluzzjoni hija msejħa l-element espansjoni fuq bażi ortogonali. L-espansjoni ta 'funzjonijiet fil serje ta' Fourier hija pjuttost għodda qawwija biex isolvu diversi problemi minħabba l-proprjetajiet tat-trasformazzjoni fl-integrazzjoni, differenzjazzjoni, kif ukoll bidla fl-espressjoni argument u konvoluzzjoni.

Persuna li ma tkunx familjari mal-matematika ogħla, kif ukoll mal-xogħlijiet tal-Fourier xjentist Franċiż, x'aktarx mhux se jifhmu dak l- "gradi" u dak li jagħmlu. Madankollu din it-trasformazzjoni hija pjuttost daħal sew ħajja tagħna. Huwa użat mhux biss matematika, iżda wkoll fiżiki, spiżjara, tobba, Astronomers, seismologists, oceanographers u oħrajn. Let us wkoll tagħti ħarsa aktar mill-qrib ma 'l-opri ta' l-xjenzat Franċiż kbira li għamlu l-iskoperta, qabel iż-żmien tiegħu.

Il-bniedem u l-transform Fourier

serje ta 'Fourier huwa wieħed mill-metodi (flimkien ma' analiżi u oħrajn) tal-transform Fourier. Dan il-proċess iseħħ kull darba li persuna tisma xi ħoss. widna tagħna awtomatikament tikkonverti l-mewġ tal-ħoss. moviment oscillatory ta 'partiċelli elementari f'midjum li fih elastika huma estiżi fis-serje (l-ispettru) valuri volum suċċessivi għall tones tal għoli differenti. Sussegwentement, il-moħħ tikkonverti din id-data fis ħsejjes familjari għalina. Dan kollu huwa b'żieda mal-xewqa tagħna jew sensi innifsu, iżda sabiex tifhem il-proċessi li jieħdu diversi snin biex tistudja matematika ogħla.

Aqra aktar dwar il-transform Fourier

Il transform Fourier jistgħu jitwettqu analitiku, numri u metodi oħra. serje Fourier huma proċess ċifra għall jiddekomponi xi proċessi oscillatory - mill-mareat oċean u mewġ tad-dawl għall ċikli solari (u oġġetti astronomiċi oħrajn) attività. Jużaw dawn it-tekniki matematiċi, huwa possibbli li disassemble l-funzjoni, li jirrappreżenta xi proċessi oscillatory f'numru ta 'komponenti sinusojdali li jmorru minn minimu li massimu u viċi versa. Il transform Fourier hija funzjoni li jiddeskrivi l-fażi u amplitudini tal sinusoids jikkorrispondu għal frekwenza partikolari. Dan il-proċess jista 'jintuża biex isolvu xi ekwazzjonijiet kumplessi ħafna li jiddeskrivu l-proċessi dinamiċi li jseħħu taħt l-azzjoni ta' sħana, dawl jew l-enerġija elettrika. Ukoll, is-serje Fourier użat biex jiddistingwi komponenti DC fil f'forom ta 'mewġ kumplessi, li jagħmilha possibbli illi jiġu interpretati b'mod korrett ir-osservazzjonijiet sperimentali fil-mediċina, kimika u l-astronomija.

informazzjoni storika

Il-missier fundatur ta 'din it-teorija huwa l-matematiku Franċiż Zhan Batist Zhozef Fure. Ismu aktar tard u din it-trasformazzjoni ġie msejjaħ. Inizjalment, il-xjenzjati użati teknika għall-istudju u jispjegaw il-mekkaniżmi ta 'konduttività termali - propagazzjoni sħana fil solidi. Fourier ssuġġeriet li d-distribuzzjoni irregolari inizjali tal-mewġa termali jistgħu jiġu dekompost fis sinusoid sempliċi, kull wieħed minnhom se jkollhom temperatura minima tagħha u massimu, kif ukoll fażi tagħha. Għalhekk kull tali komponent li jrid jitkejjel minn minimu li versa massimu u viċi. Il-funzjoni matematika li tiddeskrivi l-qċaċet ta 'fuq u t'isfel tal-kurva, kif ukoll il-fażi ta' kull armoniku, imsejjaħ il-transform Fourier tad-distribuzzjoni temperatura ta 'espressjoni. L-awtur tat-teorija ta mnaqqas funzjoni tad-distribuzzjoni globali li huwa diffiċli li deskrizzjoni matematiċi, b'mod faċli ħafna biex jimmaniġġaw numru ta 'funzjonijiet perjodiċi ta' sine u cosine, fl-ammont li jagħti d-distribuzzjoni inizjali.

Il-prinċipju tal-konverżjoni u l-opinjonijiet tal-kontemporanji

Kontemporanji ta 'l-xjenzat - l matematiċi ewlenin tas-seklu dsatax - ma aċċettax din it-teorija. L-oġġezzjoni prinċipali kienet l-approvazzjoni ta 'Fourier li l-funzjoni mhux kontinwu li jiddeskrivi linja dritta jew kurva titqatta, jista' jiġi rappreżentat bħala somma ta 'espressjonijiet sinusojdali li huma kontinwi. Bħala eżempju, jikkunsidraw "pass" Heaviside:-valur tagħha huwa żero għall-xellug tal-vojt u waħda fuq il-lemin. Din il-funzjoni jiddeskrivi id-dipendenza ta 'kurrent elettriku fuq il-varjabbli ħin għall-katina għeluq. teorija kontemporanja dak iż-żmien, qatt ma ltaqgħu magħhom tali sitwazzjoni, meta espressjoni mhux kontinwu se jiġi deskritt permezz ta 'kombinazzjoni ta' kontinwi, funzjonijiet komuni, bħal esponenzjali, sine, lineari jew kwadratiċi.

Liema bothered-matematiċi Franċiż fit-teorija tal Fourier?

Wara kollox, jekk matematiku ġustament jargumentaw, imbagħad, jingħaddu serje infinita ta 'Fourier trigonometric, huwa possibbli li tinkiseb rappreżentazzjoni preċiża tas-pass ta' espressjoni, anki jekk għandha sett ta 'passi simili. Fis-seklu dsatax, din id-dikjarazzjoni deher assurda. Iżda minkejja d-dubji kollha, ħafna matematiċi espandew l-ambitu tal-istudju ta 'dan il-fenomenu, jmexxuh lil hinn mill-istudji konduzzjoni termali. Madankollu, ħafna xjentisti kompliet issofri l-mistoqsija: "? Jista 'l-ammont tas-serje mewġa sinusojdali tikkonverġi mal-valur eżatt ta' funzjoni mhux kontinwu"

Konverġenza ta 'serje ta' Fourier: Eżempju

Il-kwistjoni ta 'konverġenza jogħla kull darba li għandek bżonn l-għadd totali ta' serje infinita ta 'numri. jikkunsidraw eżempju klassiku għall-fehim ta 'dan il-fenomenu. Tista 'qatt tilħaq il-ħajt, jekk kull pass huwa nofs il-preċedenti? Ejja ngħidu li inti huma żewġ metri mill-għan, l-ewwel pass eqreb lejn madwar nofs triq, li jmiss - il-marka ta 'tliet kwarti, u wara l-ħames, inti ser tegħleb kważi 97 fil-mija mill-mod. Madankollu, l-ebda kwistjoni kif ħafna passi li inti ghamilt la, il-mira maħsuba inti tilħaq f'sens matematika stretta. Bl-użu kalkoli numerika, nistgħu jipprova li fl-aħħar tista 'tkun eqreb għal distanza arbitrarju żgħar partikolari. Dan huwa ekwivalenti għal prova li turi li l-valur totali ta 'nofs wieħed, kwart, u l-bqija. E. Se tendenza li unità.

Il-kwistjoni ta 'konverġenza:-tieni miÍja, jew strument ta' Lord Kelvin

Ripetutament qamet il-kwistjoni fis-seklu dsatax tard, meta l-serje ta 'Fourier ppruvaw jużaw biex wieħed ibassar l-intensità tal-daqqa u l-flussi. F'dak iż-żmien, Mulej Kelvin kienet ivvintata mezz huwa kompjuter Analog li ppermetta suldat navali u jimmonitorjaw baħar merkantili huwa fenomenu naturali. Dan is-sett mekkaniżmu definit ta 'fażijiet u l-amplitudnijiet tal-għoli tal-mejda tal-mareat u l-mumenti żmien korrispondenti, imkejla b'attenzjoni fil-port matul is-sena. Kull parametru huwa sinusojdali għoli espressjoni komponent marea u kien wieħed mill-komponenti regolari. Ir-riżultati tal-kejl huma input għall-apparat tal-kompjuter Mulej Kelvin, sintesi kurva li mbassra għoli tal-ilma bħala funzjoni tas-sena ta 'wara. Malajr ħafna, dawn kurvi ġew ippreparati għall-portijiet kollha tad-dinja.

U jekk il-proċess se jinqasmu funzjoni diskontinwu?

F'dak iż-żmien, kien jidher ovvju li l-apparat tbassir mewġa tal-baħar, ma 'bosta elementi tal-kont jista' jikkalkula numru kbir ta 'fażijiet u l-amplitudnijiet, u għalhekk jipprovdu tbassir aktar preċiż. Madankollu, rriżulta li din ix-xejra mhix osservata f'kazijiet fejn l-espressjoni tal-marea li se jiġu sintetizzati, li jinsabu qabża qawwija, jiġifieri, huma mhux kontinwu. Fil-każ li l-apparat li ddaħħal data minn tabella ta 'punti taż-żmien, huwa jikkalkola koeffiċjenti ta' Fourier ftit. Irkupru tal-funzjoni oriġinali minħabba l-komponent sinusojdali (skond il-koeffiċjenti misjuba). Id-diskrepanza bejn l-oriġinal u l-espressjoni rikostruwit tista 'titkejjel fi kwalunkwe punt. Meta l-kalkoli ripetuti u paraguni jista 'jara li l-valur tal-akbar żball ma jitnaqqasx. Madankollu, huma lokalizzati fir-reġjun li jikkorrispondi għall-punt ta 'qsim, u kwalunkwe punt ieħor għandhom tendenza għal żero. Fl-1899, dan ir-riżultat kien ikkonfermat teoretikament Joshua Willard Gibbs tal-Yale University.

Konverġenza ta 'serje ta' Fourier u l-iżvilupp tal-matematika fl-intier tagħha

analiżi Fourier ma japplikax għal espressjonijiet li fihom numru infinit ta jinfaqa fuq ċertu intervall. Fil serje ta 'Fourier ġenerali, jekk il-funzjoni oriġinali huwa rappreżentat mir-riżultat tal-kejl fiżiku attwali, dejjem jikkonverġu. Kwistjonijiet ta 'konverġenza ta' dan il-proċess għal klassijiet speċifiċi ta 'funzjonijiet wasslu għal fergħat ġodda tal-matematika, bħall-teorija tal-funzjonijiet ġeneralizzati. Hija assoċjata ma 'ismijiet bħal Schwartz, J .. Mikusiński u J. Temple. Taħt din it-teorija, bażi teoretika ċara u preċiża għal tali espressjoni ġiet stabbilita bħala l-funzjoni delta Dirac (li hija tiddeskrivi r-reġjun ta 'żona waħda, kkonċentrati viċinat infiniteżmali tal-punt) u "pass" Heaviside. Permezz ta 'dan ix-xogħol serje ta' Fourier saru applikabbli għas-soluzzjoni ekwazzjonijiet u problemi, li jinvolvu kunċetti intuwittivi: punt charge, punt massa, dipoles manjetiċi, u l-tagħbija ikkonċentrat fuq il-raġġ.

metodu Fourier

serje ta 'Fourier, skond il-prinċipji ta' interferenza, tibda bil-dekompożizzjoni ta 'forom kumplessi fis sempliċi. Per eżempju, bidla fil-fluss tas-sħana minħabba l-passaġġ tagħha permezz tal-varji ostakoli tal-sħana materjal ta 'għamla irregolari iżolanti jew li jinbidlu wiċċ l-art - terremot, bidla fil-orbita tal-ġisem ċelesti - l-influwenza tal-pjaneti. Tipikament, dawn l-ekwazzjonijiet li jiddeskrivu sempliċi klassiku elementari sistema solvuti għal kull wavelength individwali. Fourier wriet li s-soluzzjonijiet sempliċi jistgħu jingħataw f'sinteżi kif għall-kompiti aktar kumplessi. Fil-lingwa tal-matematika, Fourier serje - metodoloġija għas-sottomissjoni ta 'espressjoni somma ta armonika - cosine u mewġ sine. Għalhekk, din l-analiżi hija magħrufa wkoll taħt l-isem "analisi armonika".

serje ta 'Fourier - metodu ideali għall- "età tal-kompjuter"

Qabel il-ħolqien ta 'metodu Fourier teknoloġija tal-kompjuter huwa l-aħjar arma fil-armament ta' xjentisti li jaħdmu man-natura mewġa ta 'dinja tagħna. serje ta 'Fourier fil-forma kumplessi jippermettilek li mhux biss isolvu problemi sempliċi li huma soġġetti għall-applikazzjoni ta' Newton liġijiet tal-mekkanika diretta, iżda wkoll l-ekwazzjonijiet fundamentali. Ħafna mill-iskoperti ta 'xjenza Newtonian tas-seklu dsatax sar possibbli biss minħabba l-metodu Fourier.

serje ta 'Fourier illum

Bl-iżvilupp ta 'transform Fourier kompjuters żdiedu għal livell ġdid. Din it-teknika hija sod għeruq fi kważi l-oqsma kollha tax-xjenza u t-teknoloġija. Bħala eżempju, awdjo u vidjo diġitali. L-implimentazzjoni tagħha sar biss possibbli grazzi għall-teorija żviluppata mill-matematiku Franċiż tas-seklu dsatax. Għalhekk, is-serje Fourier fil-forma kumplessi ippermetta li tagħmel kisba importanti fl-istudju tal-ispazju extratmosferiku. Barra minn hekk, ikun affettwa l-istudju tal-fiżika ta 'materjali semikondutturi u l-plażma, akustika microwave, oċeanografija, radar, seismology.

serje trigonometric Fourier

Fil-matematika, serje Fourier huwa mod ta jirrappreżentaw funzjonijiet kumplessi arbitrarja bħala somma ta 'aktar sempliċi. F'każijiet ġenerali, in-numru ta 'espressjonijiet jista' jkun infinita. L-akbar numru magħduda fil-kalkolu, l-aktar preċiż ir-riżultat finali miksub. L-aktar użu komuni ta 'cosine trigonometric sempliċi jew il-funzjoni sine. F'dan il-każ, is-serje ta 'Fourier huwa msejjaħ trigonometric, u d-deċiżjoni ta' tali espressjonijiet - dekompożizzjoni armoniku. Dan il-metodu għandu rwol importanti fil-matematika. L-ewwelnett, is-serje trigonometric tipprovdi mezz għall-immaġini, kif ukoll l-istudju tal-funzjonijiet, huwa l-unità prinċipali tat-teorija. Barra minn hekk, jippermetti biex issolvi numru ta 'problemi fil-fiżika matematiċi. Fl-aħħarnett, din it-teorija ikkontribwixxa għall-iżvilupp ta 'analiżi matematika, hija tat lok għal numru ta' fergħat importanti ħafna tax-xjenza matematika (teorija ta 'l-integrali, il-teorija tal-funzjonijiet perjodiċi). Barra minn hekk, il-punt tat-tluq għall-iżvilupp tal-segwenti teoriji: settijiet, funzjonijiet ta 'varjabbli reali, analiżi funzjonali, u wkoll s-sisien għall-analisi armonika.