Numri reali u l-proprjetajiet tagħhom

Pitagora sostna li n-numru huwa l-pedament tad-dinja huwa b'parità mad-elementi ewlenin. Plato jemmnu li n-numru ta 'links l-fenomenu u l noumenon, jgħinu biex tkun taf, li jridu jintiżnu u li tiġbed konklużjonijiet. Aritmetika ġej mill-kelma "arifmos" - in-numru, il-punt tat-tluq fil-matematika. Huwa possibbli li jiddeskrivi kwalunkwe oġġett - minn elementari għall-ispazji astratta tuffieħ.

Bżonnijiet bħala fattur żvilupp

Fl-istadji inizjali ta 'żvilupp tas-soċjetà l-bżonnijiet ta' nies limitati mill-ħtieġa li jżommu punteġġ - .. borża Wieħed mill-qamħ, tnejn borża qamħ, eċċ Biex tagħmel dan, kien numri naturali, is-sett ta 'liema hija sekwenza infinita tan-numri interi pożittiv N.

Aktar tard, l-iżvilupp tal-matematika bħala xjenza, kien meħtieġ fil-qasam speċifiku tan-numri interi Z - hija tinkludi valuri negattivi u żero. dehra tiegħu fil-livell domestiku, kien ipprovokat mill-fatt li l-kontabilità inizjali kellu b'xi mod tiffissa l-djun u t-telf. Fuq livell xjentifiku, in-numri negattivi għamluha possibbli li ssolvi sempliċi ekwazzjonijiet linjari. Fost affarijiet oħra, huwa issa possibbli li immaġni sistema trivjali jikkoordina, jiġifieri. A. Kien hemm punt ta 'referenza.

Il-pass li jmiss kien l-bżonn li jidħlu numri frazzjonali, peress xjenza ma tibqa 'wieqfa, aktar u aktar skoperti ġodda mitluba bażi teoretika għal tkabbir spinta ġdida. Allura kien hemm qasam ta 'numri razzjonali Q.

Fl-aħħarnett, m'għadhiex jissodisfaw it-talbiet ta 'razzjonalità, minħabba li l sejbiet ġodda jeħtieġu ġustifikazzjoni. Kien hemm qasam ta 'numri reali R, ix-xogħlijiet ta' incommensurability Ewklide ta 'ċerti kwantitajiet minħabba irraġonevolezza tagħhom. Dan huwa, il-matematiku Grieg antik pożizzjonat mhux biss numru bħala kostanti, iżda bħala valur astratt li huwa kkaratterizzat bil-proporzjon ta 'kobor incommensurable. Minħabba l-fatt li hemm numri reali, "rajna l-dawl" valuri bħal "pi" u "e", li mingħajrhom matematika moderna ma tistax isseħħ.

L-innovazzjoni finali kien numru kumpless C. wieġeb sensiela ta 'mistoqsijiet u rrifjutati teħtieġ ir daħlu qabel. Minħabba l-iżvilupp mgħaġġel ta 'riżultat alġebra kien prevedibbli - bin-numri reali, id-deċiżjoni ta' ħafna problemi ma kienx possibbli. Per eżempju, grazzi għall-numri komplessi spikkat teorija spag u kaos mwessa ekwazzjonijiet tal hydrodynamics.

Set Teorija. Cantor

Il-kunċett ta infinità dejjem ikkawża kontroversja, kif kien impossibbli li jikkonferma jew jikkonfuta. Fil-kuntest tal-matematika, li hija mħaddma dogma verifikati b'mod strett, hija ruħha aktar ovvju, l-aktar li l-aspett teoloġiku għadhom imxekkla fix-xjenza.

Madankollu, permezz tal-ħidma ta 'matematiku Georg Cantor kull żmien waqgħet fil-post. Huwa ppruvat li l-settijiet infinita hemm sett infinita, u li l-kamp ta 'R huwa akbar mill-qasam N, let tnejn minnhom u jkollhom l-ebda għan. Fin-nofs tas-seklu XIX, l-ideat tiegħu imsejħa pubblikament nonsense u delitt kontra kanoni immutabbli klassiku, iżda l-ħin se tpoġġi kollox fil-post tagħha.

proprjetajiet bażiċi tal-qasam ta 'R

numri reali mhux biss ikollhom l-istess proprjetajiet bħall-podmozhestva li jinkludu, iżda huma supplimentati minn masshabnosti oħra bis-saħħa tal-elementi tagħha:

• Żero R. jeżisti u tappartjeni għall-qasam ċ + = c 0 għal kwalunkwe ċ ta 'R.
• Żero jeżisti u tappartjeni għall-R. qasam ċ x 0 = 0 għal kull c ta 'R.
• Il-proporzjon c: d meta jeżisti d ≠ 0 u huwa validu għal kwalunkwe c, d ta 'R.
• Qasam R ordnat, jiġifieri jekk ċ ≤ d-d ≤ c, allura ċ = d għal kull c, d ta 'R.
• Barra minn hekk fil-qasam R hija kommuttativa, jiġifieri c + d = d + c, għal kwalunkwe c, d ta 'R.
• Multiplikazzjoni qasam R hija kommuttativa, jiġifieri x ċ x d = d ċ għal kulħadd c, d ta 'R.
• Barra minn hekk fil-qasam R hija assoċjattiva jiġifieri (c + d) + f = c + (d + f) għal kull c, d, f 'R.
• Multiplikazzjoni qasam R hija assoċjattiva jiġifieri (ċ x d) x f = c × (d x f) għal kwalunkwe c, d, f 'R.
• Għal kull numru ta 'kamp ta' R opposta lilu hemmhekk, tali li ċ + (-c) = 0, fejn c, -c minn R.
• Għal kull numru ta 'qasam ta' R jeżisti invers tagħha, b'tali mod li ċ x ċ ^-1 = 1 fejn c, c ^-1 ta 'R.
• teżisti unità u tappartjeni għall-R, sabiex il-ċ x 1 = ċ, għal kwalunkwe ċ ta 'R.
• Hija għandha l-distribuzzjoni liġi poter, b'tali mod li ċ x (d + f) = c ċ x f x d +, għal kwalunkwe c, d, f 'R.
• Il-qasam R hija żero mhuwiex ugwali għal unità.
• Qasam R hija transittivi: jekk ċ ≤ d, d ≤ f, allura ċ ≤ f għal kull c, d, f 'R.
• Fl-ordni R u żieda huma interkonnessi: jekk ċ ≤ d, allura ċ + f ≤ d + f għal kulħadd c, d, f 'R.
• Fl-ordni ta 'lR u l-multiplikazzjoni marbut: jekk 0 ≤ ċ, 0 ≤ d, allura 0 ≤ ċ x d għal kull c, d ta' R.
• Bħala numri reali negattivi u pożittivi huma kontinwi, jiġifieri, għal kull c, d ta 'lR f, teżisti mill-R, li ċ ≤ f ≤ d.

qasam Modulu R

In-numri reali jinkludu tali ħaġa bħala modulu. Maħtura bħala l-| f | għal kull f fid R. | f | = F, jekk 0 ≤ fu | f | = -f, jekk 0.> f. Jekk inqisu li l-modulu bħala valur ġeometriku, huwa f'distanza - ma jimpurtax, "mgħoddi" inti bħala żero fin-negattiv għall-pożittiv jew quddiem.

numri komplessi u reali. X'inhuma l-similaritajiet u d-differenzi?

Permezz u f'numri kbar, kumplessi u reali - dawn huma l-istess, ħlief li l-ewwel ssieħbu fl-unità immaġinarja i, il-kwadru ta 'li hu daqs -1. Elementi oqsma R u C jistgħu jkunu rappreżentati mill-formula li ġejja:

• c = d + f x i, fejn d, f jappartjenu għall-qasam R, ui - unità immaġinarju.

Biex tikseb l-ċ ta 'lR f f'dan il-każ sempliċement preżunt li jkun żero, jiġifieri, hemm biss il-parti reali tan-numru. Minħabba li l-qasam ta 'numri komplessi għandu l-istess karatteristika stabbiliti bħala l-qasam ta' reali, f x i = 0 jekk f = 0.

Bil-rigward differenzi prattiċi, pereżempju fil-qasam R ekwazzjoni kwadratiċi ma tistax tissolva jekk il-discriminant huwa negattiv, filwaqt li l-kaxxa Ċ ma timponix din il-limitazzjoni billi jintroduċi l-unità immaġinarju i.

riżultati

"Briks" ta 'axioms u teħtieġ ir fuqhom għall-matematika bażi, ma jinbidlux. Fuq xi wħud minnhom minħabba ż-żieda ta 'informazzjoni u l-introduzzjoni ta' teoriji ġodda mqiegħda ġej "briks", li fil-futur tista 'ssir l-bażi għall-pass li jmiss. Per eżempju, numri naturali, minkejja l-fatt li huma subsett tal-qasam reali R, ma jitlifx rilevanza tiegħu. Huwa għalihom il-bażi ta 'kull aritmetika elementari, li jibda bl-għarfien ta' raġel ta 'paċi.

Minn perspettiva prattika, in-numri reali dehra linja dritta. Huwa possibbli li jagħżlu direzzjoni, li jidentifika l-oriġini u żift. Diretta hija magħmula minn numru infinit ta 'punti, li kull wieħed minnhom jikkorrispondi għal numru reali wieħed, irrispettivament minn jekk jew le razzjonali. Mid-deskrizzjoni huwa ċar li aħna qed nitkellmu dwar il-kunċett, li huwa bbażat matematika b'mod ġenerali, u analiżi matematika b'mod partikolari.