Il-Paradoss Russell: sfond, eżempji, kitba

Russell paradoss hija ta 'żewġ antinomy loġiku interdipendenti.

Żewġ forom ta 'paradoss Russell

Il-forma aktar mument diskuss spiss ta 'kontradizzjoni fis-settijiet loġika. Uħud mill-sett jidher li l-membri stess, u oħrajn - l-ebda. Is-sett ta 'settijiet kollha hija fiha nnifisha sett, hekk jidher li dan jirreferi għalih innifsu. Null jew vojt, madankollu, m'għandux ikun membru fih innifsu. Għalhekk, is-sett ta 'settijiet kollha, kif żero mhix inkluża fil innifsu. Il-paradoss tqum meta l-kwistjoni ta 'jekk is-sett ta' membru tal innifsu. Dan huwa possibbli jekk u biss jekk ma jkunx.

Ieħor forma paradoss hija kontradizzjoni fir-rigward proprjetajiet. Xi proprjetajiet, jidher li jirreferu għalihom infushom, filwaqt li oħrajn mhumiex. Il-proprjetà li jkun il-proprjetà nnifisha hija proprjetà, filwaqt li l-proprjetà kemm jekk qattus mhuwiex. Ikkunsidra l-proprjetà li jkun hemm proprjetà li ma jappartjenix lilu. jekk din tapplika għalih innifsu? Għal darb'oħra, kwalunkwe mill-suppożizzjonijiet għandhom ikunu l-oppost. Il-paradoss kien imsemmi fl-unur ta Bertrand Russell (1872-1970), li skopriet dan fl-1901.

istorja

Ftuħ Russell seħħew matul ix-xogħol tiegħu fuq "Prinċipji tal-Matematika". Għalkemm skopra l-paradoss indipendentement, hemm evidenza li l matematiċi u żviluppaturi ta 'teorija stabbiliti, inklużi Ernst Zermelo u oħrajn David Hilbert, kienu konxji ta' l-ewwel verżjoni ta 'kontradizzjonijiet quddiemu. Russell, madankollu, kien l-ewwel li diskussi fid-dettall il-paradoss fil-xogħlijiet ippubblikati tiegħu, l-ewwel ippruvaw biex jifformulaw soluzzjonijiet u l-ewwel japprezzaw bis-sħiħ sinifikat tagħha. Kapitolu sħiħa ta ' "Prinċipji" kienet iddedikata għal diskussjoni ta' din il-kwistjoni, u l-applikazzjoni kienet iddedikata għall-teorija ta 'tipi, li Russell proposta bħala soluzzjoni.

Russell skoprew il-"paradoss ta 'l-liar", meta wieħed iqis Cantor' s-teorija sett li tgħid li s-setgħa ta 'kwalunkwe sett huwa iżgħar mill-sett ta' sottogruppi tiegħu. Mill-inqas fil-qasam għandha tkun kemm sottogruppi kif hemm elementi fiha, jekk subsett wieħed ta 'kull element huwa stabbilit fih biss dan l-element. Barra minn hekk, Cantor ppruvat li n-numru ta 'elementi ma tistax tkun ugwali għan-numru ta' sottogruppi. Jekk kien hemm l-istess numru, hija jkollha jeżistu ƒ karatteristika li juru elementi fuq sottogruppi tagħhom. Fl-istess ħin jiġi ppruvat li dan huwa impossibbli. Xi punti jistgħu jintwerew fuq sottogruppi il-funzjoni ƒ li jkun fihom minnhom, filwaqt li oħrajn ma jistgħux.

Ikkunsidra l-subsett ta 'elementi li ma jappartjenux għal immaġini tagħhom, li fihom juru ƒ. Hija nnifisha hija subsett ta 'elementi, u għalhekk, ƒ funzjoni se display fuq element fil-qasam. Il-problema hija li mbagħad tqum il-kwistjoni dwar jekk dan l-element jappartjeni għall-subsett li huwa juri ƒ. Dan huwa possibbli biss jekk ma jappartjenu. paradoss Russell tista 'titqies bħala eżempju ta' l-istess raġunament, simplifikat biss. X'inhi l-aktar - il-settijiet jew sottogruppi tas-sett? Jidher li għandu jkun hemm aktar settijiet, kif sottogruppi kollha tal-settijiet nfushom. Iżda jekk teorema Cantor huwa minnu, allura għandu jkun hemm aktar sottogruppi. Russell meqjusa sempliċement juru settijiet fuq infushom u applikat approċċ kantoriansky jikkunsidra s-sett ta 'dawn l-elementi kollha, barra minn sett li fih jiġi esebit. Russell turi isir is-sett ta 'settijiet kollha, mhux.

żball Frege

"Il-paradoss ta 'l-liar" kellha impatt profond fuq l-iżvilupp storiku tat-teorija ta' settijiet. Huwa wera li l-kunċett tas-sett universali hija problematika ħafna. Huwa staqsa wkoll l-idea li għal kull kondizzjoni jew relattivi definit jista 'jassumi l-eżistenza ta' pluralità ta 'biss dawk l-affarijiet li jissodisfaw din il-kundizzjoni. Għażla paradoss dwar il-propjetajiet - estensjoni naturali mas-settijiet verżjoni - qajmu dubji serji dwar jekk huwiex possibbli li jargumentaw dwar l-eżistenza oġġettiva ta 'proprjetà jew ta' konformità universali lil kull determinat mill-kundizzjoni, jew relattivi.

Hekk il-kontradizzjonijiet u l-problemi fil-ħidma tal-logicians nstabu, filosofi u matematiċi li għamlu suppożizzjonijiet simili. Fl-1902, Russell sabet li varjant tal-paradoss jistgħu jiġu espressi f'sistema loġika, żviluppata fil-Volum I ta 'l Gottlob Frege ta "Fondazzjonijiet ta' aritmetika", waħda mill-xogħlijiet prinċipali fuq il-loġika tal-aħħar XIX - bidu tas-seklu XX. Fil-filosofija ta 'Frege ħafna jinftiehem bħala "estensjoni" jew kunċett "medda valur". Il-kunċetti huma l-eqreb ma 'dawk tal jikkorrelata. Huma mistennija li jeżistu għal kull kondizzjoni partikolari jew relattivi. Għalhekk, hemm kunċett ta 'sett, li ma jaqax taħt il-kunċett jiddefinixxi tagħha. Hemm ukoll klassi definita mill dan il-kunċett, u huwa suġġett għall tiddefinixxi l-kunċett tagħha biss jekk ma jkunx.

Russell kiteb lill Frege dwar dan il-kunflitt fil Ġunju 1902 Korrispondenza sar wieħed mill-aktar eċċitanti u tkellem dwar fl-istorja tal-loġika. Frege immedjatament rikonoxxuta il-konsegwenzi diżastrużi tal-paradoss. Huwa nnota, madankollu, li l-verżjoni tal-kontroversja dwar il-proprjetajiet fil-filosofija tiegħu ġiet solvuta billi ssir distinzjoni bejn il-kunċetti ta 'livelli.

kunċett Frege jinftiehem bħala t-tranżizzjoni mill-argumenti tal-funzjoni li VERU. Il-kunċetti ewwel livell billi tittieħed bħala argumenti l-oġġetti tat-tieni kunċetti livell tieħu bħala argumenti ta 'dawn il-funzjonijiet, u l-bqija. Għalhekk, il-kunċett qatt ma tista 'tieħu lilu nnifsu bħala argument, u l-paradoss f'termini tal-kwalitajiet ma jistgħux jiġu fformulati. Madankollu settijiet, l-espansjoni jew kunċetti Frege jinftiehem bħala li jirreferi għall-istess tip loġika bħal dak ta 'l-oġġetti l-oħra. Imbagħad għal kull sett hemm kwistjoni jekk dan jaqax taħt il-kunċett ta 'definizzjoni dan.

Meta Frege, Russell rċeviet l-ewwel ittra, it-tieni volum ta ' "Fondazzjonijiet ta' aritmetika" huwa diġà lest istampar. Hu kien imġiegħel malajr jippreparaw applikazzjoni li tagħti risposta għall-paradoss ta 'Russell. Eżempji Frege kien fih numru ta 'soluzzjonijiet possibbli. Imma huwa wasal għall-konklużjoni li jdgħajfu l-kunċett ta 'sett estrazzjoni f'sistema loġiku.

Fl-oriġinal, kien possibbli li jiġi konkluż li l-oġġett tappartjeni għall-sett jekk u biss jekk jaqa 'taħt il-kunċett, jiddefinixxi dan. Is-sistema riveduta tista 'biss jikkonkludi li l-oġġett tappartjeni għall-sett jekk u biss jekk din taqa taħt il-kunċett jiġi definit pluralità, iżda mhux stabbiliti f'dak il-każ. paradoss Russell tqum.

Is-soluzzjoni, madankollu, mhuwiex kompletament sodisfatt bil Frege. U din kienet ir-raġuni. Bosta snin wara, forma aktar kumplessa tal-kontradizzjoni nstabet għas-sistema riveduta. Iżda anke qabel dan ġara, Frege abbandunati deċiżjonijiet tiegħu u jidhru li waslet għall-konklużjoni li l-approċċ tiegħu kienet sempliċement fattibbli, u li l-loġika ser ikollhom jagħmlu mingħajr ebda mis-settijiet.

Xorta waħda oħrajn ġew proposti, soluzzjonijiet alternattivi relattivament aktar ta 'suċċess. Dawn huma diskussi hawn taħt.

It-teorija ta 'tipi

Kien nnotat hawn fuq li Frege kienet reazzjoni adegwata għall-paradossi ta 'teorija sett fil-verżjoni formulati għall-proprjetajiet. rispons Frege kienet preċeduta mill-aktar soluzzjoni iddiskuta spiss biex din il-forma ta 'paradoss. Hija bbażata fuq il-fatt li l-proprjetajiet huma suġġetti għal tipi differenti u liema tip ta 'proprjetà huwa qatt l-istess bħall-oġġetti li għalihom tirreferi.

Għalhekk, tqum lanqas il-kwistjoni, jekk il-proprjetà hija applikabbli għalih innifsu. lingwa loġiku, li jissepara l-elementi ta 'tali ġerarkija, bl-użu teorija ta' tipi. Għalkemm huwa diġà użat mill Frege, l-ewwel darba li hi spjegata bis-sħiħ u sostanzjati Russell fl-Anness għall- "prinċipju". It-teorija ta 'tipi iktar kompleta minn l-distinzjoni ta' livelli Frege. Hija maqsuma proprjetajiet huma mhux biss tipi differenti ta 'loġika, iżda jistabbilixxu wkoll. teorija tip li ssolvi l-kontradizzjoni fil-paradoss ta 'Russell ġej.

Sabiex tkun philosophically adegwata, l-adozzjoni tat-teorija ta 'tipi ta' proprjetajiet teħtieġ l-iżvilupp tat-teorija tan-natura tal-proprjetajiet hekk li jista 'jispjega għaliex ma jistgħux jiġu applikati lilhom infushom. Ewwel daqqa t'għajn, jagħmel sens li relattivi proprjetà tagħhom stess. Il-proprjetà li tkun awto-identità, jidher, huwa wkoll awto-identità. Il-proprjetà jidher li jkun sbieħ pjaċevoli. Bl-istess mod, apparentement, jidher falza li jgħidu li l-proprjetà li tkun qattus huwa qattus.

Madankollu, diversi ħassieba ġustifikata d-diviżjoni ta 'tipi differenti. Russell anke taw spjegazzjonijiet differenti f'ħinijiet differenti fil-karriera tiegħu. Min-naħa tagħha, ir-razzjonal għas-separazzjoni tal-kunċetti differenti ta 'livelli Frege ġej minn teorija tiegħu ta' kunċetti mhux saturati. Kunċetti bħala funzjoni, essenzjalment, ma jkunux kompluti. Li tipprovdi valur, għandhom bżonn argument. Inti mhux wieħed biss kunċett jista biex relattivi-kunċett tal-istess tip, għaliex din xorta waħda teħtieġ l-argument tagħha. Per eżempju, għalkemm huwa possibbli li jittieħdu l-għerq kwadrat tal-għerq kwadrat ta 'numru, inti tista' mhux biss tuża l-funzjoni għerq kwadrat għall-funzjoni għerq kwadrat u tikseb riżultat.

Dwar il-proprjetajiet konservattiżmu

Soluzzjoni oħra possibbli hija l-proprjetajiet paradoss proprjetajiet negazzjoni eżistenza taħt kwalunkwe kondizzjonijiet mogħtija, jew relattivi ffurmata sewwa. Of course, jekk xi ħadd li jevita proprjetajiet metaphysical taż-żewġ elementi oġġettivi u indipendenti kollha kemm hi, jekk nieħdu paradoss nominalism jistgħu jiġu evitati kompletament.

Madankollu, biex isolvu l-antinomy ma għandux ikun hekk estremi. Loġika sistemi ordni ogħla żviluppati Frege u Russell, fihom dak li jissejjaħ prinċipju kunċettwali, skond liema kull formuli miftuħa irrispettivament minn kif kumpless jeżisti bħala parti minn proprjetà jew kunċett per eżempju, biss dawk l-oġġetti li jaqblu mal-formola. Huma applikati għall-attributi ta 'kull sett possibbli ta' kundizzjonijiet jew predicates, ma jimpurtax kemm kumplessi kienu.

Madankollu, kien possibbli li tieħu proprjetajiet metaphysics aktar rigorużi, li tagħti d-dritt għall-eżistenza objettiv ta 'proprjetajiet sempliċi, inkluż, per eżempju, bħall-kulur aħmar, fermezza, kindness u l-bqija. D. Tista' anki let dawn il-proprjetajiet japplikaw lilhom infushom, bħall-kindness jistgħu jkun it-tip.

U l-istess status ta 'attributi kumplessi jistgħu jiġu miċħuda, per eżempju, tali "proprjetajiet" bħala li sbatax-irjus, jiġu bil-miktub taħt l-ilma u l-. D. bħal F'dan il-każ, l-ebda kondizzjoni predeterminati ma jissodisfax il-proprjetà, mifhuma bħala separatament l-element, li għandu proprjetajiet tagħha stess eżistenti. Għalhekk wieħed jista 'jiċħad l-eżistenza ta' proprjetajiet sempliċi jiġu-proprjetà-li-mhux applikati to-awto u jevitaw paradoss billi japplikaw proprjetajiet metaphysical aktar konservattivi.

paradoss Russell: is-soluzzjoni

Hawn fuq ġie nnotat li fl-aħħar tal-ħajja tiegħu Frege kompletament abbandunat il-loġika ta 'settijiet. Dan, naturalment, wieħed soluzzjoni għall-antinomy fil-forma ta 'settijiet: ċaħda sempliċi tal-eżistenza ta' tali elementi kollha kemm hi. Barra minn hekk, hemm għażliet oħra popolari, l-affarijiet bażiċi li huma murija hawn taħt.

It-teorija għal ħafna tipi ta '

Kif imsemmi qabel, Russell lagħab għal teorija aktar kompleta ta 'tipi, li taqsmu mhux biss il-proprjetajiet jew kunċetti għal tipi differenti, iżda jistabbilixxu wkoll. Russell maqsuma stabbiliti fuq pluralità ta 'unitajiet separati, pluralità ta' settijiet ta 'oġġetti separati, eċċ Il-settijiet ta' oġġetti ma ġewx ikkunsidrati, u pluralità ta 'settijiet - .. Settijiet. A lott ta 'qatt jgawdu-tip, ihallik jkollhom bħala membru ta' innifsu. Għalhekk l-ebda sett ta 'settijiet kollha li mhumiex membri tiegħu stess, minħabba li għal kull sett ta' mistoqsijiet dwar jekk huwiex bħala membru, innifsu huwa tip vjolazzjoni. Għal darb'oħra, il-kwistjoni hawnhekk huwa li jispjega l-settijiet metaphysics biex jispjegaw l-pedamenti filosofiċi tas-diviżjoni f'tipi.

stratifikazzjoni

Fl-1937, V. V. Kuayn offra soluzzjoni alternattiva, b'mod simili għall-teorija ta 'tipi. Informazzjoni bażika dwar dan huma.

Tissepara settijiet element u oħrajn. Made sabiex il-preżunzjoni ta 'sejba ta pluralità dejjem hija żbaljata jew bla sens. Settijiet jistgħu jiġu pprovduti biss meta jiddefinixxu kundizzjonijiet tagħhom mhumiex tip vjolazzjoni. Għalhekk, għal Quine, l-espressjoni "x mhix membru ta 'x" hija l-istqarrija sinifikanti ma timplikax l-eżistenza tas-sett ta' x kollha elementi li jissodisfaw din il-kundizzjoni.

F'din is-sistema jeżisti sett għal xi formola miftuħa A jekk u biss jekk ikun stratifikat, t. E. Jekk il-varjabbli huma assenjati interi pożittivi tali li għal kull okkorrenza karatteristika ta 'pluralità ta' qabel dan varjabbli huwa assenjat unità assenjazzjoni iżgħar mill-varjabbli, wara warajh. paradoss Dan blokki Russell, għaliex il-formula użata biex tiddetermina l-problema stabbilita, hemm l-istess qabel u wara s-sinjal sħubija varjabbli jagħmilha unstratified.

Iżda għad trid tiddetermina jekk is-sistema li tirriżulta, li Quine imsejħa "Fondazzjonijiet ġodda ta 'loġika matematika" konsistenti.

ċaħda

Approċċ kompletament differenti tittieħed fit-teorija tal Zermelo - Fraenkel (ZF). Hawnhekk, ukoll, tistabbilixxi limitu fuq l-eżistenza ta 'settijiet. Minflok, l-approċċ il-"minn fuq għal isfel" tal Russell u Frege, li inizjalment ħasbu li għal kull kunċetti, proprjetajiet, jew kondizzjonijiet jistgħu jissuġġerixxu l-eżistenza tas-sett ta 'affarijiet ma din il-proprjetà jew li jissodisfaw din il-kundizzjoni, fil ZF-teorija, kollox jibda "mill-qiegħ up."

elementi individwali tas-sett vojta u jiffurmaw sett. Għalhekk, b'differenza sistemi ta 'qabel u Russell Frege FIT ma jappartjenix għas-sett universali li jinkludi l-elementi u anke l-settijiet. ZF tistabbilixxi limiti stretti fuq l-eżistenza ta 'settijiet. Jistgħu jeżistu biss dawk li għalihom huwa postulat b'mod ċar jew li jistgħu jiġu fformulati permezz ta 'proċessi iterattiv u simili. D.

Imbagħad, minflok il-estrazzjoni kunċett sett naive li jiddikjara li element partikolari hija inkluża fis-sett jekk u biss jekk tissodisfa l-kundizzjonijiet fil-prinċipju ta 'separazzjoni użat DF, separazzjoni jew "għażla". Minnflok ma tassumi l-eżistenza tas-sett tal-elementi kollha li huma mingħajr eċċezzjoni jissodisfaw ċerta kundizzjoni, għal kull sett eżistenti Aussonderung jindika l-eżistenza ta 'subsett tal-elementi kollha fis-sett oriġinali li tissodisfa l-kundizzjoni.

Imbagħad jiġi prinċipju estrazzjoni: jekk jeżisti sett A, imbagħad, għal kull x f'A, x tappartjeni għall-subsett A, li jissodisfa l-kundizzjoni jekk u biss jekk x tissodisfa l-kundizzjoni C. Dan l-approċċ ssolvi l-Russell paradoss, peress li ma nistgħux sempliċiment tassumi jiġifieri, is-sett ta 'settijiet kollha li mhumiex membri ta' infushom.

Wara li lott ta 'settijiet, inti tista' tagħżel jew diviż settijiet, li huma fihom infushom, u dawk li mhumiex tali, iżda peress li m'hemm l-ebda sett universali aħna mhumiex marbuta sett ta 'settijiet kollha. Mingħajr jassumi l-problema settijiet Russell kontradizzjoni ma tista 'tiġi ppruvata.

soluzzjonijiet oħra

Barra minn hekk, kien hemm estensjonijiet sussegwenti jew modifikazzjonijiet ta 'dawn is-soluzzjonijiet, bħal teorija tat-tip furketta ta' "Prinċipji tal-Matematika" espansjoni sistema "loġika matematika" Quine, kif ukoll żviluppi iktar riċenti fil-teorija ta 'settijiet, magħmula Bernays, Gödel u von Neumann. Il-kwistjoni jekk ir-rispons għall-paradoss li ma jinħallux Bertrand Russell misjuba, għadu kwistjoni ta 'dibattitu.