Alġebra Boolean. alġebra tal-loġika. Elementi tal-loġika matematika

Fid-dinja tal-lum aħna qed dejjem aktar jużaw varjetà ta 'magni u għodda. U mhux biss meta jkun meħtieġ li jiġu applikati qawwa litteralment superhuman: jċaqalqu l-piż li dan jogħla għall-għoli, ħaffer trinka twila u fonda, eċċ Karozzi illum jiġbru robots, ikel imsajjar Multivarki u kalkoli aritmetiċi elementari jipproduċu kalkolaturi ... Aktar u aktar spiss nisimgħu l-frażi "alġebra Boolean". Forsi wasal iż-żmien biex jifhmu r-rwol tal-bnedmin fil-ħolqien tar-robots u magni l-abbiltà biex isolvu mhux biss matematika, iżda wkoll problemi loġiku.

loġika

Fil-loġika Grieg - sistema ordnat tal-ħsieb li toħloq ir-relazzjoni bejn il-kundizzjonijiet mogħtija u tippermetti li inti tagħmel inferenzi ibbażati fuq suppożizzjonijiet u stimi. Spiss, aħna nistaqsu xulxin: "Huwa loġiku li" It-tweġiba tikkonferma suppożizzjonijiet tagħna jew jikkritika l-ferrovija tal-ħsieb. Imma l-proċess ma tieqafx hemm: aħna nkomplu nitkellmu.

Xi kultant l-għadd ta 'kundizzjonijiet (input) huwa hekk kbir, u r-relazzjoni bejniethom huwa tant konfuża u kumplessi li l-moħħ tal-bniedem ma jkunx jista' "jiddiġerixxu" kollha f'daqqa. Jista 'jkollok bżonn aktar minn xahar (ġimgħa, sena) għall-fehim ta' dak li qed jiġri. Iżda l-ħajja moderna ma tagħtina dawn l-intervalli taż-żmien li jagħmlu deċiżjonijiet. U aħna jirrikorru għall-għajnuna ta 'kompjuters. U huwa hawnhekk li hemm algebra u loġika, mal-liġijiet u l-proprjetajiet tiegħu. Wara tniżżil tad-data kollha oriġinali, inħallu l-kompjuter biex jirrikonoxxu r-relazzjonijiet kollha, biex jeliminaw kontradizzjonijiet u biex isibu soluzzjoni sodisfaċenti.

Matematika u l-loġika

Famuż Gotfrid Vilgelm Leybnits formulati l-kunċett ta ' "loġika matematika", li kompiti kienu faċli biex tinftiehem biss ċirku żgħir ta' skulari. Ta 'interess partikolari hija l-direzzjoni ma jikkawża, u man-nofs tas-seklu XIX tal-loġika matematika magħrufa mill ftit.

L-interess kbir fil-komunità xjentifika ikkawża 'kwistjoni li fiha l-Ingliż Dzhordzh Bul ddikjara l-intenzjoni tiegħu li tistabbilixxi fergħa tal-matematika, li ma jkollhomx assolutament l-ebda użu prattiku. Kif nafu mill-istorja, f'dan iż-żmien li jiżviluppaw b'mod attiv il-produzzjoni industrijali, aħna żviluppati tipi kollha ta 'magni awżiljarji, t. E. iskoperti xjentifiċi kollha kellhom orjentament prattiku.

B'ħarsa 'l quddiem, aħna ngħidu li Boolean alġebra - l-aktar użati fid-dinja llum parti tal-matematika. Allura l-argument tiegħek Buhl mitlufa.

Dzhordzh Bul

-Personalità tal-awtur jistħoqqilha attenzjoni speċjali. Anki minħabba l-fatt li fil-passat nies kiber quddiemna, xorta għandu jiġi osservat li fis-snin 16 ta 'John. Buhl mgħallma fl-iskola tar-raħal, u sa 20 sena fetaħ iskola tiegħu stess Lincoln. Matematiku perfettament mhaddma f'ħames lingwi barranin, u fil-ħin liberu tiegħu, kien qari-xogħlijiet ta 'Newton u Lagrange. U dan kollu - fuq iben ħaddiem ordinarju!

Fl-1839, Buhl mibgħuta karti xjentifiċi tiegħu ewwel fil-Ġurnal matematika Cambridge. Xjentist daru 24 sena. xogħol Boole huwa membri tant interessati tal-Royal Society, fil 1,844 huwa rċieva midalja għall-kontribut tiegħu għall-iżvilupp ta 'analiżi matematiċi. A dokumenti ppubblikati ftit li fiha l-elementi ta 'loġika matematika, matematika permess l-żgħażagħ li jieħdu l-kariga ta' professur fil-Kulleġġ ta Kontea ta 'Cork ġew deskritti. Ifakkar li fil--edukazzjoni Boole ħafna ma kienx.

-idea

Fil-prinċipju, alġebra Boolean huwa sempliċi ħafna. Hemm dikjarazzjonijiet (loġiku espressjonijiet) li, mill-perspettiva tal-matematika, jistgħu jiġu definiti biss f'żewġ kelmiet: "vera" jew "foloz". Per eżempju, siġar bloom fir-rebbiegħa - il-verità, fis-sajf borra - gidba. Il-sbuħija tal-matematika huwa li mhuwiex strettament meħtieġ li jintużaw numri biss. Għall-sentenzi alġebra pjuttost tajbin kwalunkwe dikjarazzjoni bil tifsira uniku.

Għalhekk, l-alġebra tal-loġika jistgħu jintużaw litteralment kullimkien: fil-istruzzjoni iskedar u l-kitba, l-analiżi ta 'informazzjoni konfliġġenti dwar l-avvenimenti u d-determinazzjoni tas-sekwenza ta' azzjonijiet. L-aktar ħaġa importanti - li tirrealizza li ma jimpurtax kif aħna jiddeterminaw il-verità jew falsità tad-dikjarazzjonijiet. Minn dawn "kif" u "għaliex" għandek bżonn biex jinjoraw. Li huwa importanti huwa biss dikjarazzjoni ta 'fatt: l-verità hija gidba.

Naturalment, programmazzjoni l-funzjonijiet l-aktar importanti tal-alġebra tal-loġika li huma rreġistrati ma 'sinjali u simboli xierqa. U jitgħallmu minnhom - dan ifisser li jitgħallmu lingwa barranija ġdida. Xejn huwa impossibbli.

kunċetti u definizzjonijiet bażiċi

Mingħajr ma nidħlu fil-fond, nittrattaw ma terminoloġija. Allura, alġebra Boolean jippresupponi:

• dikjarazzjonijiet;
• operazzjonijiet loġiċi;
• funzjonijiet u l-liġijiet.

Dikjarazzjonijiet - kwalunkwe espressjoni affermattiva li jista 'jiġi interpretat b'żewġ vvalutati. Huma miktuba bħala numri (5> 3) jew kliem familjari fformulati (iljunfant - l-akbar mammiferi). F'dan il-każ, il-frażi "għonq tal-Giraffe ma tkunx" għandu wkoll dritt li jeżistu, biss alġebra Boolean jiddefinixxu bħala "jimteddu."

Id-dikjarazzjonijiet kollha għandhom ikunu ambigwi, iżda dawn jistgħu jkunu bażiċi jew komposti. użu reċenti gozz loġiku. E. Fil-kompost sentenzi dikjarazzjonijiet alġebra iffurmat biż-żieda ta 'operazzjonijiet loġiċi elementari.

operazzjonijiet alġebra Boolean

Aħna diġà wieħed jiftakar li l-operazzjonijiet fil-alġebra tas-sentenzi - loġiku. Hekk kif l-alġebra ta 'numri li jużaw l-operazzjonijiet aritmetika li jżidu, naqqas, jew iqabblu numri, elementi loġiċi matematiċi jippermettu li jagħmlu dikjarazzjonijiet kumplessi, biex jiċħdu jew biex jikkalkulaw ir-riżultat finali.

operazzjonijiet loġika għall-formalizzazzjoni u s-sempliċità espressa mill-formola, familjari lilna aritmetika. Proprjetajiet ta 'ekwazzjonijiet alġebra Boolean jagħmluha possibbli li tirreġistra u kkalkula l-magħrufa. operazzjonijiet loġiċi huma normalment reġistrati mit-tabella verità. elementi tagħha jiddefinixxu kolonni u l-operazzjoni kompjuters li jsiru fuqhom, u l-ringieli juru r-riżultat tal-kalkoli.

loġika bażika ta 'azzjoni

L-aktar komuni fl-operazzjonijiet alġebra Boolean huma negazzjoni (MHUX), u l-loġika U u OR. Għalhekk huwa possibbli li tiddeskrivi prattikament l-passi kollha fil sentenzi alġebra. Aħna studjati fid-dettall kull waħda mit-tliet operazzjonijiet.

Il negazzjoni (le) hija applikata għal wieħed uniku element (operand). Għalhekk, l-operazzjoni tissejjaħ negazzjoni unary. Biex tirrekordja l-kunċett ta ' "mhux A" li jużaw dawn is-simboli: ¬ å, A jew A !. F'forma ta 'tabella jidher qisu dan:

Il-funzjoni ta 'ċaħda tipiku ta' tali dikjarazzjoni: jekk A huwa minnu, allura A - huwa falz. Per eżempju, il-qamar ddur madwar id-Dinja - il-verità; Dinja ddur madwar il-qamar - gidba.

multiplikazzjoni loġiku u żieda

Loġiku U operazzjoni tissejjaħ flimkien. Xi jfisser? L-ewwelnett, li jista 'jiġi applikat għal żewġ operands, jiġifieri, I - .. operazzjoni Binarju. It-tieni nett, huwa biss fil-każ tal-verità taż-żewġ operands (kemm A u B) huwa vera u l-espressjoni innifsu. Il qawl, "Patience u ftit sforz" jimplika li biss żewġ fatturi jistgħu jgħinu persuna ilaħħqu mad-diffikultajiet.

simboli huma wżati għar-reġistrazzjoni: A∧B, A⋅B jew A && B.

Flimkien huwa simili għal multiplikazzjoni fl aritmetika. Kultant u jgħidu - multiplikazzjoni loġiku. Jekk inti timmultiplika l-elementi tar-ringili tal-mejda, irridu jiksbu riżultat simili għal ħsieb loġiku.

Disjunction huwa loġiku jew operazzjoni. Huwa VERU jekk mill-inqas waħda mid-dikjarazzjonijiet huwa veru (jew A jew B). Huwa bil-miktub bħal dan: A∨B, A + B jew A || B. -tabella verità għal dawn l-operazzjonijiet huma:

Disjunction minn hekk aritmetika simili. operazzjoni minbarra loġiku għandu biss wieħed restrizzjoni: 1 + 1 = 1. Iżda aħna niftakru li fil-format diġitali hija limitata għal loġika matematika 0 u 1 (fejn 1 - il-verità, 0 - foloz). Per eżempju, id-dikjarazzjoni "fil-mużew tista 'tara kapolavur jew issib kumpanija tajba" tfisser dak li inti tista' tara xogħlijiet ta 'arti, u huwa possibbli li jintlaħqu persuna interessanti. Fl-istess ħin, ma jeskludix il-possibbiltà ta 'twettiq simultanju ta' żewġ avvenimenti.

Funzjonijiet u l-liġijiet

Allura, aħna diġà jafu x'inhi l-operazzjoni loġiku li jużaw alġebra Boolean. Funzjonijiet jiddeskrivu l-proprjetajiet kollha tal-elementi ta 'loġika matematika, u inessu biex jissimplifikaw dikjarazzjonijiet komposti kumplessi. L-aktar ċara u sempliċi jidher proprjetà rifjut ta 'l-operazzjonijiet ta' derivattivi. Permezz ta 'derivattivi huma mifhuma XOR, impliċitu u ekwivalenza. Kif aħna qrajt biss mal-operazzjonijiet bażiċi, u allura l-proprjetà hija wkoll biss jikkunsidraw lilhom.

Assoċjattività ifisser li fid-dikjarazzjonijiet bħal "kemm A u B, u B" elenkar sekwenza tal-operands ma jimpurtax. Il-formula huwa miktub kif ġej:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Kif tistgħu taraw, dan mhuwiex uniku għall-konġunzjoni iżda disjunction.

Kommutattività targumenta li r-riżultat tal-konġunzjoni jew disjunction ma tiddependix fuq liema partita kienet ikkunsidrata mill-bidu:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity tippermetti jiżvelaw parenteżi fl-espressjonijiet loġiku kumplessi. Regoli huma simili għall-parentesi tal-ftuħ fil-multiplikazzjoni u żieda fl-alġebra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

proprjetajiet unità u scratch, li jista 'jkun wieħed mill-operands huma wkoll simili għall-multiplikazzjoni algebra minn żero jew wieħed, u ż-żieda ta' unità:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency tgħidilna li jekk relattivament żewġ operands indaqs ir-riżultat tal-operazzjoni huwa l-istess, inti tista ' "tarmi" l-operands raġunament jikkumplikaw żejda. U l-operazzjonijiet flimkien u disjunction huma idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Akkwist wkoll jippermetti li tissimplifika l-ekwazzjoni. Assorbiment jgħid li meta l-espressjoni huwa applikat għall operand wieħed, operazzjoni oħra bl-istess element tal-operand riżultat qed jassorbi operazzjoni.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

sekwenza ta 'operazzjonijiet

Is-sekwenza ta 'operazzjonijiet huwa ta' importanza kbira. Fil-fatt, bħal alġebra, hemm funzjoni prijorità li juża alġebra Boolean. Formoli jistgħu jiġu ssimplifikati biss bla ħsara għall-importanza tal-operazzjonijiet. Klassifikazzjoni mill-aktar sinifikanti għall negliġibbli, irridu jiksbu l-sekwenza li ġejja:

1. Ċaħda.

2. Conjunction.

3. Il disjunction, XOR.

4. L-implikazzjoni, l-ekwivalenza.

Kif tistgħu taraw, biss il-ċaħda tal-konġunzjoni u ma jkollhom prijorità ugwali. Prijorità tal-disjunction u XOR huma ugwali, kif ukoll il-prijoritajiet tal implikazzjoni u l-ekwivalenza.

Funzjonijiet ta 'implikazzjoni u l-ekwivalenza

Kif għandna qal, flimkien mal-operazzjonijiet loġiċi bażiċi, loġika matematika u t-teorija ta 'algoritmi li jużaw derivati. Huwa ħafna drabi l-implikazzjoni u l-ekwivalenza.

L-implikazzjoni jew konsegwenza loġika - din id-dikjarazzjoni, f'liema azzjoni waħda hija kundizzjoni, u l-oħra - ir-riżultat tal-implimentazzjoni tagħha. Fi kliem ieħor, din il-proposta bil-iskuża ta ' "jekk ... imbagħad". "Wara l-pranzu jasal iż-istimar." E. Għas-sewqan li jkun issikkat fuq l-għoljiet islitta. Jekk ma jkunx hemm xewqa li jinżel mill-muntanji, u mbagħad jkaxkru l-islitta mhux meħtieġ. Huwa miktub hekk: A → B jew A⇒B.

Ekwivalenza jimplika li l-effett nett iseħħ biss meta ż-żewġ operands huma veri. Per eżempju, lejl tagħti mod għal jum imbagħad (u biss mbagħad), meta x-xemx titla fuq l-orizzont. Fil-lingwa tal-loġika matematika ta 'din id-dikjarazzjoni hija miktuba kif A≡B, A⇔B, A == B.

liġijiet oħra ta 'l-alġebra Boolean

sentenza Alġebra tiżviluppa, u ħafna xjentisti interessati biex jifformulaw liġijiet ġodda. L-aktar famużi huma kkunsidrati li teħtieġ matematiku Skoċċiż O. De Morgan. Huwa nnotat u taw definizzjoni ta 'tali proprjetajiet bħall negazzjoni qrib, minbarra u negattivi doppja.

ċaħda qrib jissuġġerixxi li qabel l-parentesi wieħed ma jistax jiċħad: mhux (A jew B) = mhux A jew B. MHUX

Meta l-operand jiġi miċħud, irrispettivament mill-valur tiegħu, jgħidu dwar żieda:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

U fl-aħħarnett, il-negazzjoni doppja innifsu jikkumpensa. jiġifieri qabel jew negazzjoni operand tisparixxi jew jibqa 'wieħed biss.

Kif se ssolvi testijiet

Loġika jimplika simplifikazzjoni predeterminat ekwazzjonijiet. Eżatt bħal fil-alġebra Lie, huwa meħtieġ li maximally jiffaċilitaw ewwel kundizzjoni (li teħles minn operazzjonijiet input kumplikati, u magħhom), imbagħad tibda tfittex għal risposta korretta.

X'għandek tagħmel biex jissimplifikaw? Ikkonverti l-derivattivi f'operazzjoni sempliċi. Imbagħad tikxef l-parentesi (jew viċi versa, biex jagħmlu l-parentesi biex jitnaqqas dan l-element). Il-pass li jmiss għandu jkun li jintużaw proprjetajiet alġebra Boolean fil-prattika (proprjetajiet ta 'assorbiment żero u wieħed, u t.).

Fl-aħħarnett, l-ekwazzjoni għandha tikkonsisti minn numru minimu ta 'mhux magħrufa, flimkien ma' operazzjonijiet sempliċi. L-eħfef mod biex issib soluzzjoni, jekk inti tagħmel numru kbir ta 'negattivi qrib. Allura ir-risposta se pop up bħallikieku minnu stess.