Il indefinit integrali. Komputazzjoni ta 'integrali indefinit

Waħda mit-taqsimiet fundamentali ta 'analiżi matematika hija l-kalkulu integrali. Hija tkopri qasam wiesgħa ħafna ta 'oġġetti, fejn l-ewwel - huwa l-indefinit integrali. Pożizzjoni inhi bħala ewlieni li għadu fl-iskola għolja jiżvela numru dejjem jikber ta 'prospetti u l-opportunitajiet, li jiddeskrivi matematika ogħla.

dehra

Ewwel daqqa t'għajn, jidher biddlu integrali għal demokraziji moderni, topiku, iżda fil-prattika jirriżulta li © ie lura fl-1800 QK. Home għall uffiċjalment meqjusa Eġittu kif ma jaslu evidenza aktar bikrija ta 'eżistenza tagħha. Hija minħabba nuqqas ta 'informazzjoni, l-waqt pożizzjonat sempliċiment bħala fenomenu. Huwa għal darb'oħra jikkonferma l-livell ta 'żvilupp xjentifiku tal-popli ta' dawk il-ħinijiet. Fl-aħħarnett, ix-xogħlijiet nstabu l-matematiċi Grieg antik, li jiddataw mill-4 seklu QK. Dawn jiddeskrivu l-metodu użat fejn il-indefinit integrali, l-essenza tagħha kien li ssib il-volum jew iż-żona ta 'forma kurvilineari (pjan tridimensjonali u bidimensjonali, rispettivament). kalkolu kien ibbażat fuq il-prinċipju ta 'diviżjoni tal-figura oriġinali fil-komponenti infiniteżmali, sakemm il-volum (erja) huwa diġà magħrufa lilhom. Maż-żmien, il-metodu kibret, densimetrija użati biex isibu l-qasam ta 'parabola. kalkoli simili fl-istess ħin biex twettaq eżerċizzji fiċ-Ċina antika, fejn kienu kompletament indipendenti mill-kollegi xjenza Grieg.

iżvilupp

Il-breakthrough jmiss fis-seklu XI QK sar ix-xogħol tal-istudjuż Għarbija "vagun" Abu Ali al-Basri, li imbuttat-konfini tal-diġà magħrufa, ġew derivati mill-formula integrali għall-kalkolu tal-ammonti ta 'l-ammonti u gradi mill-ewwel għat-raba, l-applikazzjoni għal dan magħrufa lilna metodu induzzjoni.
Imħuħ tal-lum huma ammirajt mill-Egyptians qedem ħolqu l-aqwa monumenti mingħajr għodda speċjali, ħlief għal dik tal-idejn tagħhom stess, iżda mhuwiex xi qawwa xjentisti ġenn tal-ħin mhux inqas miraklu? Meta mqabbel maż-żminijiet attwali ta 'ħajjithom jidhru kważi primittiv, iżda d-deċiżjoni ta' integrali indefinit dedotta kullimkien u użati fil-prattika għal aktar żvilupp.

Il-pass li jmiss seħħet fis-seklu XVI, meta l-matematiku Taljan Cavalieri miġjuba metodu indiviżibbli, li telgħet Per Ferma. Dawn iż-żewġ personalità s-sisien għall-kalkulu integrali moderna, li huwa magħruf fil-mument. Huma marbuta l-kunċetti ta 'divrenzjar u l-integrazzjoni, li qabel kienu meqjusa bħala unitajiet self-contained. Permezz u kbar, l-matematika ta 'dak iż-żmien kien partiċelli frammentati sejbiet jeżistu minnhom infushom, bl-użu limitat. Mod biex jgħaqqdu u jsibu bażi komuni kienet l-unika vera fil-mument, grazzi lilu, il moderna analiżi matematika kellhom l-opportunità li jikbru u jiżviluppaw.

Bl-mogħdija taż-żmien bidliet kollox u s-simbolu integrali ukoll. Permezz u kbar, kien nominat xjentisti li fil-mod tiegħu stess, per eżempju, Newton użati kwadru ikona, li tpoġġi funzjoni integrable, jew sempliċiment ipoġġu flimkien. Din id-disparità dam sas-seklu XVII, meta monumentali għall-teorija sħiħa ta 'analiżi matematika xjentist Gotfrid Leybnits introduċew tali karattru familjari għalina. Tawwali "S" huwa attwalment ibbażata fuq din l-ittra tal -alfabett Ruman, peress tindika is-somma ta 'primitives. L-isem tal-integral miksuba grazzi għall Jakob Bernoulli, wara 15-il sena.

Id-definizzjoni formali

L-integral indefinit jiddependi fuq id-definizzjoni tal-primittiv, hekk aħna nqisu li hu fl-ewwel post.

Antiderivative - hija l-funzjoni inversa tad-derivattiv, fil-prattika huwa msejjaħ primittiv. Inkella: funzjoni primittiv tal d - hija funzjoni D, li huwa d-derivattiv v <=> V "= v. Fittex primitive hu li jkunu kalkolati l-integrali indefinit, u l-proċess innifsu huwa msejjaħ integrazzjoni.

eżempju:

Il-funzjoni i (y) = y ^3, u S tiegħu primittiv (y) = (y ^4/4).

Is-sett ta 'primitives kollha tal-funzjoni - dan huwa indefinit integrali, ddenotata huwa kif ġej: ∫v (x) dx.

Minħabba l-fatt li V (x) - huma biss xi funzjoni oriġinali primittiv, espressjoni istivi: ∫v (x) dx = V (x) + C, fejn C - kostanti. Taħt il-kostanti arbitrarja jirreferi għal kwalunkwe kostanti, peress derivattiv tagħha huwa żero.

proprjetajiet

Il-proprjetajiet posseduti mill-integral indefinit, essenzjalment ibbażata fuq id-definizzjoni u l-proprjetajiet tad-derivati.
Ikkunsidra l-punti ewlenin:

• derivattiv integrali mill-primittiv huwa primittiv innifsu flimkien ma 'arbitrarja kostanti C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
• derivattiv tal-integrali ta 'funzjoni hija l-funzjoni oriġinali <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
• kostanti hija meħuda minn taħt is-sinjal integrali <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, fejn k - huwa arbitrarju;
• integrali, li hija meħuda mill-somma tal-identiku ugwali għas-somma ta 'integrali <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

L-aħħar żewġ proprjetajiet jista 'jiġi konkluż li l-integrali indefinit hija lineari. Minħabba dan, aħna għandna: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Biex tara eżempji ta 'iffissar soluzzjonijiet integrali indefinit.

Għandek issib l-∫ integrali (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + Ċ

Mill-eżempju nistgħu nikkonkludu li ma tafx kif se ssolvi integrali indefinit? Biss issib l-primitives! Imma t-tfittxija għall-prinċipji diskussi hawn taħt.

Metodi u Eżempji

Sabiex jiġu solvuti l-integrali, inti tista 'tirrikorri għall-metodi li ġejjin:

• lesta biex tieħu vantaġġ tat-tabella;
• integrazzjoni mill-partijiet;
• integrat billi jissostitwixxi l-varjabbli;
• jingħaddu taħt is-sinjal tad-differenzjali.

tabelli

L-aktar mod sempliċi u pjaċevoli. Fil-mument, l-analiżi matematika tista 'tiftaħar tabelli pjuttost estensivi, li mfissra-formula bażika ta' integrali indefinit. Fi kliem ieħor, hemm mudelli derivati sa inti u inti tista 'biss tieħu vantaġġ minnhom. Hawn hi l-lista tal-pożizzjonijiet mejda prinċipali, li tkun tista 'tintwera prattikament kull każ, għandha soluzzjoni:

• ∫0dy = Ċ, billi C - kostanti;
• ∫dy = y + C, fejn C - kostanti;
• ⁿ ∫y dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, fejn C - kostanti, u n - numru differenti minn unità;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, fejn C - kostanti;
• ^{∫e y dy = e y + C} , fejn C - kostanti;
• ^{dy ∫k y = (k y /} ln k) + C, fejn C - kostanti;
• ∫cosydy = siny + C, fejn C - kostanti;
• ∫sinydy = -cosy + C, fejn C - kostanti;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, fejn C - kostanti;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, fejn C - kostanti;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, fejn C - kostanti;
• ∫chydy = jitmeżmżu + C, fejn C - kostanti;
• ∫shydy = chy + C, fejn C - kostanti.

Jekk ikun meħtieġ, tagħmel ftit passi jwassal integrand għal opinjoni tabulari u jgawdi l-rebħa. EŻEMPJU: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x-dnub (5x - 2) + Ċ

Skond id-deċiżjoni huwa ċar li per eżempju integrand tabella hija nieqsa multiplikatur 5. Aħna jżidu b'mod parallel ma 'din il-multiplikazzjoni billi 1/5 għall-espressjoni ġenerali ma nbidlitx.

Integrazzjoni billi Partijiet

Ikkunsidra żewġ funzjonijiet - z (y) u x (y). Huma għandhom ikunu kontinwament differentiable fuq dominju tagħha. Fil-proprjetajiet differenzjazzjoni waħda għandna: d (XZ) = xdz + zdx. L-integrazzjoni żewġ naħat, we: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Kitba mill-ġdid l-ekwazzjoni li tirriżulta, irridu jiksbu l-formula, li jiddeskrivi l-metodu ta 'integrazzjoni billi partijiet: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Għaliex huwa meħtieġ? Il-fatt li wħud mill-eżempji huwa possibbli li jissimplifika, ejja ngħidu, biex jitnaqqas ∫xdz ∫zdx, jekk din tkun qrib il-forma ta 'tabelli. Ukoll, din il-formula tista 'tintuża aktar minn darba, għal riżultati aħjar.

Kif se ssolvi integrali indefiniti b'dan il-mod:

• Jeħtieġ li tiġi kkalkolata ∫ (i + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} i + 1, DZ = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((i + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((i + 1) ^{2s e)} / 2-e ^2s / 4 + C;

• għandu jikkalkula ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, DZ = ds / s, = y i, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -i + C = s (LNS-1) + C.

Sostituzzjoni tal-varjabbli

Dan il-prinċipju ta 'soluzzjoni integrali indefinit ma jkunux inqas fid-domanda minn tnejn l' qabel, għalkemm ikkumplikata. Il-metodu huwa kif ġej: Ħalli V (x) - l-integrali ta 'xi funzjoni v (x). Fil-każ li fih innifsu integrali fl-Eżempju slozhnosochinenny li minnu jiġi, huwa probabbli li titħawwad u jinżlu l-soluzzjonijiet passaġġ żbaljati. Biex jiġi evitat dan it-tibdil prattika mill-varjabbli x sa z, li fiha l-espressjoni ġenerali viżwalment ssemplifikata filwaqt li tinżamm il z jiddependi fuq x.

F'termini matematiċi, dan huwa kif ġej: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), fejn x = y ( z) - sostituzzjoni. U, naturalment, il-funzjoni inversa z = y ^-1 (x) jiddeskrivi b'mod sħiħ ir-relazzjoni u r-relazzjoni ta 'varjabbli. Nota importanti - l dx differenzjali neċessarjament sostitwita bi dz differenzjali ġdid, peress li l-bidla tal-varjabbli fil-integrali indefinit tinvolvi jissostitwixxih kullimkien, mhux biss fil-integrand.

eżempju:

• għandhom isibu ∫ (i + 1) / (i ² + 2s - 5) ds

Applika l-z sostituzzjoni = (i + 1) / (i ² + 2s-5). Imbagħad dz = 2sds = 2 + 2 (i + 1) ds <=> (i + 1) ds = dz / 2. Bħala riżultat, l-espressjoni li ġejja, li huwa faċli ħafna li tikkalkula:

∫ (i + 1) / (i ² + 2s-5) ds = ∫ (Dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | i ² + 2s-5 | + Ċ;

• għandek issib l-integrali ∫2 ⁱ e ⁱ dx

Biex issolvi l-jikteb fil-forma li ġejja:

^{∫2 i e i ds = ∫ (} 2e) i ds.

Aħna jindikaw minn = 2e (sostituzzjoni ta 'l-argument dan il-pass mhuwiex, xorta huwa s), aħna nagħtu tagħna apparentement integrali ikkumplikat biex f'forma ta' tabella bażika:

^{∫ (2e) i ds = ∫a} s ds = a i / LNA + C = (2e) i / ln (2e) + C = 2 ^sekonda e ⁱ / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ⁱ / (ln2 + 1) + Ċ

Bħala sinteżi sinjal differenzjali

Permezz u kbar, dan il-metodu ta 'integrali indefinit - l twin brother tal-prinċipju tal-bidla tal-varjabbli, iżda hemm differenzi fil-proċess ta' reġistrazzjoni. Ejja nieħdu f'aktar dettall.

Jekk ∫v (x) dx = V (x) + Ċ u y = z (x), allura ∫v (y) dy = V (y) + Ċ

Fl-istess ħin aħna ma rridux ninsew il-trasformazzjonijiet integrali trivjali, fosthom:

• dx = d (x + a), u fejn - kull kostanti;
• dx = (1 / a) d (mannara + b), fejn - kostanti darb'oħra, iżda mhux żero;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Jekk inqisu li l-każ ġenerali fejn aħna jikkalkulaw il integrali indefinit, eżempji jistgħu jiġu inklużi taħt il-formula ġenerali w "(x) dx = dw (x).

eżempji:

• għandhom isibu ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) × ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + Ċ

online jgħinu

F'xi każijiet, il-ħsara li tista 'ssir jew laziness, jew ħtieġa urġenti, tista' tuża l-iqajjem onlajn, jew pjuttost, li tuża kalkolatur integrali indefinit. Minkejja l-kumplessità apparenti u n-natura kontroversjali ta 'l-integrali, id-deċiżjoni hija suġġetta għal algoritmu speċifika tagħhom, li hija bbażata fuq il-prinċipju ta' "jekk inti ma ... allura ...".

Naturalment, xi eżempji partikolarment kumplessi ta 'tali kalkolatur mhux se kaptan, kif hemm każijiet fejn deċiżjoni għandha ssib artifiċjalment "sfurzata" billi tintroduċi ċerti elementi fil-proċess, minħabba r-riżultati huma modi ovvji biex jilħqu. Minkejja n-natura kontroversjali din id-dikjarazzjoni, huwa veru, bħala l-matematika, bħala prinċipju, xjenza astratta, u l-għan primarju tiegħu tikkunsidra l-ħtieġa li jagħtu s-setgħa mill-fruntieri. Tabilħaqq, għal lixxa run-in-teoriji huwa diffiċli ħafna li nħaffu u jevolvu, u għalhekk ma jassumu li l-eżempji ta 'soluzzjoni integrali indefinit, li tawna - dan huwa l-għoli ta' opportunitajiet. Iżda lura għall-aspett tekniku ta 'affarijiet. Mill-inqas biex jiċċekkja l-kalkoli, inti tista 'tuża s-servizz li kien miktub lilna. Jekk ikun hemm bżonn ta 'kalkolu awtomatiku ta' espressjonijiet kumplessi, allura dawn ma jkollhom jirrikorru għal softwer aktar serja. Għandhom jagħtu attenzjoni primarjament fuq l-ambjent MATLAB.

applikazzjoni

Id-deċiżjoni ta 'integrali indefinit ewwel daqqa t'għajn tidher kompletament jinqalgħu mill-realtà, minħabba li huwa diffiċli li wieħed jara l-użu ovvju tal-pjan. Tabilħaqq, l-użu dirett minnhom kullimkien inti ma tistax, iżda huma element intermedjarju meħtieġa fil-proċess ta 'rtirar ta' soluzzjonijiet użati fil-prattika. Għalhekk, l-integrazzjoni ta 'divrenzjar lura, li jipparteċipaw b'hekk attiv fil-proċess ta' soluzzjoni ta 'ekwazzjonijiet.
Min-naħa tagħhom, dawn l-ekwazzjonijiet għandhom impatt dirett fuq id-deċiżjoni ta 'problemi mekkaniċi, kalkolu trajettorja u konduttività termali - fil-qosor, dak kollu li jikkostitwixxi l-preżenti u tiswir tal-futur. Indefinit integrali, li eżempji tagħhom għandna kkunsidrati hawn fuq, biss trivjali ewwel daqqa t'għajn, bħala bażi biex iwettqu aktar u aktar skoperti ġodda.