-Derivattiv tal-sine ta 'l-angolu huwa ugwali għall-cosine ta' l-istess angolu

Dana funzjoni trigonometry sempliċi y = Sin (x), huwa differentiable f'kull punt tad-dominju kollu. Irridu jipprova li l-derivattiv tal-sine ta 'kwalunkwe argument huwa ugwali għall-cosine tal-istess angolu, jiġifieri, "= Cos (x).

Il-prova hija bbażata fuq id-definizzjoni ta 'funzjoni derivattiv

Aħna jiddefinixxu x (arbitrarji) f'xi lokal żgħir ta 'punt partikolari x Δh _0. Aħna se juru l-valur funzjoni fiha, u fil-punt x biex isibu l-inkrement ta 'funzjoni partikolari. Jekk Δh - argument inkrementat, l-ġdida argument - dan x ₀ + Δx = x, il-valur ta 'din il-funzjoni għal valur partikolari ta' l-argument (x) huwa ugwali Sin (x ₀ + Δx), il-valur funzjoni f'punt speċifiku (x ₀₎ huwa wkoll magħruf .

Issa għandna Δu = Sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - funzjoni inkrement miksuba.

Skont il-formula ta 'somma sine ta' żewġ angoli inugwali aħna se jikkonvertu d-differenza Δu.

Δu = Sin (x ₀₎ · Cos (Δh) + Cos (x ₀₎ · Sin (Δx) nieqes Sin (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (Δh).

termini permutation mwettqa raggruppati ewwel sat-tielet Sin (x _0), ma _'jibqgħux il-fattur komuni - sine - il-parentesi. Irċevejna fl-espressjoni differenza Cos (Δh) -1. Hija ħalliet li jibdlu l-sinjal quddiem il-parentesi u parentesi. Jafu dak li huwa l-1-Cos (Δh), nagħmlu l-bidla u jiksbu espressjoni simplifikata Δu, li mbagħad diviż bil Δh.
Δu / Δh se jkollha l-forma: Cos (x ₀₎ · Sin (Δh) / Δh 2 · Sin ² (0.5 x Δh) · Sin (x ₀₎ / Δh. Dan huwa l-proporzjon taż-żieda tal-funzjoni li l-ammissjoni għall-inkrement tal-argument.

Wieħed għad isibu l-limitu tal-proporzjonijiet miksuba mill minna matul Δh lim, tendenza għal żero.

Huwa magħruf li l-limitu Sin (Δh) / Δx huwa ugwali għal 1, taħt il-kondizzjoni. U l-espressjoni 2 · Sin ² (0.5 x Δh) / Δh fil-somma trasformazzjonijiet partikolari li jirriżultaw għall-prodott li jkun fih bħala l-limitu notevoli ewwel multiplikatur:-numeratur tal-frazzjoni tal u znemenatel l iddividi 2,-kwadrat tad-sine jissostitwixxu prodott. Ara kif:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Il-limitu ta 'din l-espressjoni meta Δh tendenza għal żero, se jkun ugwali għan-numru ta' żero (0 mmultiplikat b'1). Jirriżulta li l-limitu tal-proporzjon Δy / Δh huwa Cos (x ₀₎ · 1-0, dan huwa Cos (x _0), l-espressjoni tagħhom huwa indipendenti mill Δh tendenza għal 0. Il-konklużjoni: l-derivattiv tal-sine ta 'kwalunkwe angolu hija ugwali għal x cosine ta 'x, jista' jinkiteb bħala: y "= Cos (x).

Il-formula li tirriżulta hija elenkata fit-tabella ta 'l-derivattivi magħrufa, fejn l-funzjonijiet elementari

Biex jissolvew problemi, fejn hu jissodisfa l-derivattiv tal-sine, tista 'tuża l- regoli ta' divrenzjar u formuli lesti tat-tabella. Per eżempju: isibu l-derivattiv tal-y funzjoni sempliċi = 3 · Sin (x) -15. Aħna nużaw l--regoli derivazzjoni tneħħija b'fattur numeriku elementari għall-sinjal tad-derivattiv u kkalkula n-numru kostanti derivattiv (li huwa żero). Applika valur tabella sine tad-derivattiv tal-angolu x Cos ugwali (x). Irċievi l-risposta: y "= 3 · Cos (x) -O. Dan derivattiv, imbagħad, huwa wkoll funzjoni elementari y = H · Cos (x).

-Derivattiv tal sine kwadru ta 'xi argument

Fil-kalkolu tal-espressjoni (Sin ² (x)) "irid jiftakar funzjoni kumplessa kif differenzjat. Allura, ² = Sin (x) - hija funzjoni qawwa bħala sine kwadru. argument tagħha hija wkoll funzjoni trigonometric, argument kumpless. Ir-riżultat f'dan il-każ hija ugwali għall-prodott tal-ewwel multiplikatur huwa kwadru tad-derivattiv kumplessa ta 'l-argument, u t-tieni --derivattiv tal-sine. Hawn ir-regola għad-differenzazzjoni funzjoni ta 'funzjoni: (u (v (x))) "huwa (u (v (x)))" · (v (x)) ". Espressjoni ta 'v (x) - argument kumpless (funzjoni interna). Jekk il-funzjoni mogħtija "y huwa daqs il-sine kwadrat x", allura l-derivattiv ta 'din il-funzjoni kompost huwa y "= 2 · Sin (x) · Cos (x). Il-prodott ta 'l-ewwel multiplikatur rdoppja - derivattiv magħrufa funzjoni esponenzjali, u Cos (x) - sinus derivattiv argument kumpless tal-funzjoni kwadratiċi. Ir-riżultat finali tista 'tiġi ttrasformata permezz tal-formula tal-sine trigonometric' l-angolu doppja. A: Il-derivattiv huwa Sin (2 · x). Din il-formula huwa faċli biex tiftakar, dan hu sikwit użat bħala tabella.